#180Programare

Matrice cu puteri ale lui 2 sub diagonala secundară

Enunț

Se citește un număr natural n (n < 100). Construiți și afișați o matrice pătratică cu n linii și n coloane după modelul de mai jos.

Pentru n = 5 se va afișa:

Inconsecvență în subiectul oficial. Limita n < 100 nu e realistă: pe ultima linie, colțul din dreapta-jos valorează 2^(n-1). Pentru n = 64 depășește deja capacitatea unui long long. Rezolvarea de mai jos e corectă pentru orice n până la aproximativ 64; peste, niciun tip întreg standard din C++ nu poate reprezenta rezultatul. La examen, menționează limitarea — e un plus, nu un minus.

Rezolvare

C++

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i + j < n - 1) {
                cout << 0 << " ";
            } else {
                long long p = 1;
                for (int t = 0; t < i + j - (n - 1); t++) p *= 2;
                cout << p << " ";
            }
        }
        cout << "\n";
    }
    return 0;
}

Cum funcționează

Cheia e să observi ce au în comun elementele egale. Uită-te la valorile de 1 din model: sunt la pozițiile (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0). În fiecare caz, i + j = 4, adică n - 1.

Asta e diagonala secundară, și ăsta e testul ei: i + j == n - 1. Merită memorat, apare în aproape orice problemă cu matrici pătratice. (Pentru diagonala principală, testul e i == j.)

De aici restul iese singur:

Zona	Condiția	Valoarea
deasupra diagonalei secundare	`i + j < n - 1`	`0`
pe diagonala secundară	`i + j == n - 1`	`1`, adică `2^0`
sub diagonala secundară	`i + j > n - 1`	`2^(i+j-(n-1))`

Ultimele două se unesc într-un singur caz, pentru că pe diagonală exponentul e 0 și 2^0 = 1.

Puterea se calculează cu o buclă simplă, nu cu pow(). pow() lucrează cu numere reale și pentru exponenți mari întoarce valori ca 15.999999, care trunchiate dau 15 în loc de 16 — o greșeală care apare exact la examen, nu la testele mici.

Greșeli frecvente

i + j == n în loc de n - 1 — diagonala iese deplasată cu o poziție, iar colțul dreapta-sus rămâne 0.
pow(2, i + j - n + 1) — funcționează pe exemple mici și cedează tăcut pe cele mari, din cauza erorilor de virgulă mobilă. La puteri întregi, înmulțește într-o buclă.
int p = 1; — pentru n peste 32 valoarea depășește capacitatea unui int și rezultatul devine negativ, fără niciun avertisment.
Confundarea diagonalei secundare cu cea principală — i == j e cealaltă. Verifică pe modelul din enunț, nu din memorie.

Apariții

Galati 2026 — problema 20 · sursa oficială